12nin doğal sayı çarpanlarının sayısı ile 15’in doğal sayı çarpanlarının sayısı toplamı kaçtır? A)8 B)9 C)10 D)11. 9. 54 sayısının, 54’ten küçük en büyük. çarpanının rakamları toplamı kaçtır? A)9 B)10 C)11 D)12. 10. 18 sayısının kaç tane doğal sayı çarpanı vardır? A)2 B)3 C)6 D)12. 2. 210 4sınıf doğal sayılar konusunda bulunan doğal sayıları büyük , 4 ten büyüktür" yerine 8 > 4 yazılır. Soru işareti yerine 8759 den büyük ve 9284 den küçük sayılar yazılabilir. Yazılabilecek sayılar 8760 , 8761 . 9282 , 9283 dür. Yanikendisinden küçük asal sayıların hiçbirine tam bölünmeyen sayılardır. Asal sayılardan bazıları: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Öklid'ten beri asal sayıların sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. IehT9bA. Doğal sayılar milyonlar 1 Kavramlar • Bölük • Milyonlar • Milyonlar Bölüğü Verilen doğal sayıların okunuşları 1984 Bin dokuz yüz seksen dört 593 201 Beş yüz doksan üç bin iki yüz bir 70 423 Yetmiş bin dört yüz yirmi üç 200 004 İki yüz bin dört Okunuşları verilen doğal sayıların yazılışı On altı bin yetmiş üç 16 073 İki bin yetmiş beş 2 075 Altı yüz seksen üç bin on yedi 683 017 Sayı 576 908 Bölük İsimleri Binler bölüğü 576, birler bölüğü 908 Basamak İsimleri yüz binler basamağı on binler basamağı binler basamağı yüzler basamağı onlar basamağı birler basamağı Basamak Değerleri yüz binler basamağı 500 000 on binler basamağı 70 000 binler basamağı 6 000 yüzler basamağı 900 onlar basamağı 0 birler basamağı 8 • Doğal sayılarda, rakamın bulunduğu yere “basamak” denir. • Doğal sayılarda basamaklar sağdan sola doğru üçerli gruplandığında oluşan her gruba “bölük” denir. Bölükler sayıların yazılışını ve okunuşunu kolaylaştırır. • Doğal sayılar okunurken önce bölükteki sayı okunur sonra bölük ismi okunur. Birler bölüğündeki sayı okunduktan sonra bölük adı söylenmez. Ülkemizde ilkokul, ortaokul ve lise düzeyindeki toplam öğrenci sayısı 16 379 852’dir. Bu sayıyı basamak tablosunda gösterelim ve sayının okunuşunu yazalım. 16 379 852 basamak tablosu 1 000 001 sayısının okunuşu Bir milyon bir • 7, 8 ve 9 basamaklı sayılar “milyonlu sayılar’’ olarak adlandırılır. • 7, 8 ve 9. basamağın bulunduğu bölüğe milyonlar bölüğü’’ denir. 2015 yılında ülkemizde Kültür ve Turizm bakanlığına bağlı müze ve tarihi yerleri gezen toplam ziyaretçi sayısı 28 122 934 kişidir. Ziyaretçi sayısını abaküste gösterelim ve okunuşunu yazalım. 28 122 934 abaküs Okunuşu “yedi yüz seksen altı milyon kırk beş bin iki yüz on dokuz” olan sayıyı yazalım. Okunuştan yararlanarak sayıyı rakamlarla ifade edelim. Okunuşu verilen sayılar yazılırken söylenmeyen basamak ifadeleri yerine “0” yazılır. 786 045 219 yazılış okunuş Okunuşu verilen sayıyı 786 045 219 şeklinde yazarız. Okunuşu “seksen iki milyon yüz yirmi sekiz” olan sayının yazılışı 82 000 128 2016 yılında yapılan nüfus sayımına göre Türkiye’nin nüfusu 79 814 871 kişidir. Bu sayıyı basamaklarına ayıralım. Sayıyı oluşturan rakamların basamak ve sayı değerlerini bulalım. 79 814 871 sayı ve basamak değer Bir sayının basamak değerleri toplamı sayının kendisine eşittir. 79 814 871 basamak değerleri toplamı 9 basamaklı bir sayının değeri en yüksek basamağı hangisidir? 579 814 871 dokuz basamaklı sayının değeri en yüksek basamağı, 5 rakamının bulunduğu yüz milyonlar basamağıdır. • Bir rakamın bulunduğu basamağa göre aldığı değere “basamak değeri” denir. • Sayı değeri bir rakamın kendi değeridir. Basamak değerleri tablosu etkinliği 1 Sayıların basamak değeri ile ilgili sorular 1. 49 753 sayısının binler bölüğündeki en küçük rakamın basamak değeri 4 x 10 000 = 40 000 2. 316 145 267 sayısındaki en büyük rakamın basamak değeri 7 x 1 = 7 3. 678 179 244 sayısındaki en küçük rakamın basamak değeri 1 x 100 000 = 100 000 4. 96 451 867 sayısının milyonlar basamağındaki rakamın basamak değeri 6 x 1 000 000 = 6 000 000 5. 201 638 256 sayısının binler bölüğündeki en büyük rakamın basamak değeri 8 x 1 000 = 8 000 6. 530 056 009 sayısının milyonlar bölüğündeki en büyük rakamın basamak değeri 5 x 100 000 000 = 5 000 000 2016 SGK Sosyal Güvenlik Kurumu istatistiklerine göre ülkemizde 20 405 447 kişi aktif sigortalı olarak çalışmaktadır. Bu sayıdaki 4 rakamlarının basamak ve sayı değerlerini bulalım. Çözüm Önce 4 rakamının bulunduğu basamakları belirleyelim. 2 0 4 0 5 4 4 7 Yüz binler basamağı Yüzler basamağı Onlar basamağı Sıfırdan farklı bir rakamın bulunduğu basamağa göre basamak değeri değişirken sayı değeri değişmez. Basamak ve sayı değerlerini gösterelim. Basamak Değeri / Sayı Değeri Yüz Binler Basamağı 4 x 100 000 = 400 000 / 4 Yüzler Basamağı 4 x 100 = 400 / 4 Onlar Basamağı 4 x 10 = 40 / 4 2 0 4 0 5 4 4 7 basamak sayı değeri Ülkemizde üretilen küçükbaş hayvan sayısı incelendiğinde bu sayının birler bölüğünde iki yüz otuz iki, milyonlar bölüğünde kırk bir ve binler bölüğünde üç yüz yirmi dokuz olduğu görülür. Bu sayıyı ve okunuşunu yazalım. Bölüklerdeki sayıları bir tabloda gösterelim ve sayının okunuşunu yazalım. Milyonlar Bölüğü / Binler Bölüğü / Birler Bölüğü 41/329/232 Sayı 41 329 232 Okunuşu Kırk bir milyon üç yüz yirmi dokuz bin iki yüz otuz iki 6 504 703 ile 65 047 003 sayılarını karşılaştıralım. Sayılar karşılaştırılırken önce basamak sayılarına bakılır. Basamak sayısı fazla olan sayı daha büyüktür. Sayıları basamak sayılarından yararlanarak karşılaştıralım. 6 504 703 sayısı 7 basamaklıdır. 65 047 003 sayısı 8 basamaklıdır. 7 basamak 8 basamaktan daha az olduğundan 6 504 703 < 65 047 003 olur. TÜİK verilerine göre 2013 yılında halk kütüphanelerinden yararlanan kişi sayısı 20 232 069, 2014 yılında ise 20 787 765’tir. 2013 ve 2014 yıllarında halk kütüphanelerinden yararlanan kişi sayılarını karşılaştıralım. Basamak sayıları eşit olan sayılar karşılaştırılırken en büyük basamaktan başlayarak aynı basamaktaki rakamlar karşılaştırılır. Yıllara göre halk kütüphanelerinden yararlanan kişi sayılarını karşılaştırmak için önce bu sayıların basamak sayılarını bulalım. 2013 → 20 232 069 sayısı 8 basamaklıdır. 2014 → 20 787 765 sayısı 8 basamaklıdır. On milyonlar ve milyonlar basamağındaki sayılar aynı olduğundan yüz binler basamağındaki sayıları karşılaştıralım. Yüz binler basamağındaki 2 sayısı, 7 sayısından küçük olduğundan 20 232 069 < 20 787 765 olur. Buna göre 2014 yılında halk kütüphanelerinden yararlanan kişi sayısı 2013 yılına göre artmıştır. 3, 6, 0, 5, 2, 4, 1, 8, 7 rakamları birer kez kullanılarak oluşturulabilecek en büyük sayının binler bölüğündeki sayıyı bulalım. Oluşturulabilecek en büyük sayıyı bulmak için rakamları en büyük basamaktan başlayarak büyükten küçüğe doğru sıralayalım. Bölük İsimleri Milyonlar Bölüğü / Binler Bölüğü / Birler Bölüğü Basamak İsimleri Yüz milyonlar basamağı – On milyonlar basamağı – Milyonlar basamağı / Yüz binler basamağı – On binler basamağı – Binler basamağı / Yüzler basamağı – Onlar basamağı – Birler basamağı Sayı 876 543 210 Verilen rakamlarla oluşturulabilecek en büyük sayı 876 543 210 olur. Binler bölüğündeki sayıyı 543 olarak buluruz. 2016 yılının Mart ayında Sabiha Gökçen Havalimanı iç hatlarda yolculuk yapanların sayısı, Atatürk Havalimanı iç hatlarda yolculuk yapanların sayısından fazladır. Sabiha Gökçen Havalimanı’ndan 4 534 064, Atatürk Havalimanı’ndan 4 ★67 645 kişi yolculuk yaptığına göre ★ yerine yazılabilecek rakamları bulalım. Atatürk Havalimanı’ndan yolculuk yapanların sayısı, Sabiha Gökçen Havalimanı’ndan yolculuk yapanların sayısından daha az olduğu için 4 ★67 645 < 4 534 064 olur. ★<5 Verilen basamaktaki rakamın 5’ten küçük olması gerekir. ★ yerine 0, 1, 2, 3, 4 yazılabilir. 4 534 064 sayı KÜMELERKüme, iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğudur. Aşağıdaki topluluklar birer küme Mesleki ve Teknik Anadolu Lisesi Yeşilay Kulübü öğrencileriAsal rakamlarArtvin ilinin ilçeleri3 ile 4 arasındaki gerçek verilen kümelerden 3 ile 4 arasındaki gerçek sayılar kümesi sayılamaz diğerleri sayılabilir Farklı GösterimleriListe YöntemiKümeye ait tüm elemanlar, küme parantezi olan ”{ }” şekli içerisine aralarına virgül konularak yazılır. Her eleman yalnız bir kez yazılır ve elemanların birbirleriyle yer değiştirmesi yeni bir küme Asal rakamlar kümesini liste yöntemi ile rakamlar kümesini A ile gösterelim. A = {2, 3, 5, 7} Çift rakamlar kümesini liste yöntemi ile Çift rakamlar kümesini B ile gösterelim. B = {0, 2, 4, 6, 8}Ortak Özellik YöntemiOrtak özellik yöntemi, kümeye ait her elemanın özelliği yazılarak yapılan gösterim = {x x çift rakam} ifadesi ortak özellik yöntemi ile yapılan bir “” sembolü öyle ki anlamına gelir. Küme içerisinde kullanılan değişkenin hemen ardından yazılır. “” sembolü yerine “” sembolü de K = {x 6 ≤ x < 15, x tek doğal sayı} kümesini liste biçiminde K = {7, 9, 11, 13}Örnek L = {x2 < 28, x tam sayı} kümesini liste biçiminde L = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}Venn Şeması YöntemiKümenin elemanlarının kapalı bir eğri veya bir çokgen içerisine yanlarına birer nokta konularak yazılmasıyla yapılan ve Sonsuz KümelerBir kümenin elemanları sayılabilir çoklukta ise bu kümeye sonlu küme adı kümenin elaman sayısı sA ile = {1, 3, 5, 7, 9} ise sA = 5 olur. A kümesi sonlu bir = {x -1017 < x < 1017, x tam sayı} kümesinin elemanları -1016’dan başlar ve 1016’da biter. Bundan dolayı B kümesi sonlu bir olmayan kümelere sonsuz küme adı = {x 11 < x, x tam sayı} kümesinin eleman sayısı bulunamaz. Kümenin elemanları küçükten büyüğe doğru sıralanırsa en küçük elemanı 12 olur ve diğer elemanlar birer birer artarak devam eder. Bu artış hiçbir zaman bitmez. Bundan dolayı C kümesi sonsuz bir 4’ün katı olan ardışık tam sayıları liste yöntemiyle = {… ,-12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, …} olarak gösterebiliriz. A kümesi sonsuz bir KümeElemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme ∅ veya { } ile Haftanın a harfi ile başlayan günleri kümesine A dersek haftanın a harfi ile başlayan günleri olmadığından A = ∅ veya sA = 0 KümeÜzerinde işlem yapılan, tüm kümeleri içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme adı verilir. Evrensel küme E ile A ={1, 3, 5, 7, 9} kümesi ve E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} evrensel kümesini Venn şeması ile ALT KÜMEA kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir, denir ve A ⊂ B ile gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi iken A’nın elemanları ile B’nin elemanlarının aynı olma durumu varsa A ⊆ B ile gösterilir. B kümesi A kümesini kapsar. Bu ifade ise B ⊃ A ile gösterilir. Venn şeması ile aşağıdaki gibi çizim yapılarak gösterilir. A kümesinin B kümesinden farklı en az bir tane elemanı varsa A kümesi B kümesini alt kümesi değildir denir. Bu ifade A ⊈ B ile gösterilir. ÖrnekA = {elma, armut, kiraz, portakal, mandalina}B = {elma, portakal} kümelerini Venn şeması ile Alt Kümenin ÖzellikleriBoş küme her kümenin alt kümesidir. ∅ ⊈ A küme kendisinin alt kümesidir. A ⊆ A B ve C kümeleri için A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C dir. Alt Küme Sayısı A = {1, 2, 3} kümesinin elemanlarını kullanarak 3 elemanlı bir küme {1, 2, 3}, 2 elemanlı kümeler oluşturulursa {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, 1 elemanlı kümeler oluşturulursa {1}, {2}, {3}, 0 elemanlı küme oluşturulursa { }, olmak üzere 8 tane alt küme oluşur. NOT n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülü ile hesaplanır. Boş kümenin alt küme sayısı 20 = 1 dir. Yani kendisidir. Örnek 7 elemanlı bir B kümesinin alt küme sayısını 2n formülünden n eleman sayısı olmak üzere 27 = 128 elemanlı bulunur. NOT n elemanlı bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümeleri öz alt küme olarak isimlendirilir ve öz alt küme sayısı 2n – 1 ile hesaplanır. Örnek ANTALYA kelimesindeki harfler kullanılarak oluşturulan A kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamını bulunuz. Çözüm İstenen Küme A = {A, L, N, T, Y} olarak yazılır. Bu durumda sA = 5 olur. A kümesinin alt küme sayısı 25 = 32, öz alt küme sayısı 25 – 1 = 31 olduğundan toplamları 32+31 = 63 bulunur. Örnek A = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunmaz? Çözüm A kümesinden a elemanı çıkarılarak B = {b, c, d} kümesi elde edilir. B kümesinin tüm alt kümelerinde a elemanı bulunmaz. Bu durumda sB = 3 için 23 = 8 olur. Örnek A = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinden kaçında a elemanı bulunur? Çözüm A kümesinin tüm alt kümelerinden a nın bulunmadığı alt kümeler çıkarılınca geriye a nın bulunduğu alt kümeler kalacaktır. Bu durumda 24 – 23 = 8 olur. İkinci Yol A elemanının bulunmadığı alt kümeler; {}, {b}, {c}, {d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {b,c,d} olarak yazılır. Bu kümelerin her birine a elemanı eklenirse {a}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {a,b,c,d} kümeleri elde edilir. Bu kümelerin tamamında a eleman olarak bulunur. Bu durumda a elemanının bulunduğu alt kümelerin sayısı ile {b,c,d} kümesinin alt kümeleri sayısı eşit olup 23 = 8 olur. Örnek A = {m, n, o, p, r} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde p elemanı bulunur, m elemanı bulunmaz? p ve m elemanları birlikte bulunur? p ve m elemanları birlikte bulunur n elemanı bulunmaz? p ve m elemanlarından yalnız biri bulunur? p veya m elemanları bulunur? Çözüm A kümesinden p ve m elemanları çıkarılarak yeni bir küme elde edilir. Bu küme B ile gösterilsin. B = {n, o, r} kümesinin alt kümelerinin hiç birinde p ve m elemanları bulunmaz . 23 = 8 tane olarak elde edilen her alt kümeye p eleman olarak eklenirse bu kümelerin her birinde p elemanı bulunur, m elemanı bulunmaz. Buradan cevap 8 olur. A kümesinden p ve m elemanlarını çıkarırız bir B ={n, o, r} kümesi elde edilir. B kümesinin alt küme sayısı 23 = 8 olur. Bu alt kümelerin herbirine p ve m eklenirse cevap 8 olur. P,m ve n elemanları A kümesinden çıkarılarak B = {o,r} kümesi elde edilir. B kümesinin her alt kümesinde p, m ve n elemanları bulunmaz. B kümesinin alt küme sayısı 22 = 4 olur. Bunların her birine p ve m eleman olarak eklenirse cevap 4 olur. P ve m elemanlarından yalnız biri bulunur demek, p elemanının bulunup m elemanının bulunmadığı alt küme sayısı ile m elemanının bulunup p elemanının bulunmadığı alt küme sayısının toplanması demektir. m elemanının bulunup p elemanının bulunmadığı alt küme sayısı 23 = 8 olur. P elemanının bulunup m elemanının bulunmadığı alt küme sayısı da aynı yöntemle 8 bulunur. Bu durumda cevap 8+8 = 16 olur. Tüm alt küme sayısından p ve m elemanlarının hiç bulunmadığı alt küme sayısı çıkarılırsa sonuca ulaşılır. Bu durumda cevap 25 – 23 = 32 – 8 = 24 olur. Örnek A = {a, b, c} ve B ={a, b, c, ç, d, e, f} kümeleri veriliyor. A ≠ T ve B ≠ T olmak üzere, A ⊆ T ⊆ B koşuluna uyan kaç tane T kümesinin yazılabileceğini bulunuz. Çözüm B kümesinin A kümesinden farklı elemanlarının sayısı 4 olup bu kümenin 24 = 16 tane alt kümesi vardır. Bu 16 kümenin biri A, biri B kümesidir. Dolayısıyla bu alt kümelerden A ve B kümelerinin olmadığı 16-2 = 14 küme vardır. Bu kümelere a, b, c elemanları eklenerek T kümesinin olası durumları bulunur. Cevap 14 olur. İki Kümenin Eşitliği Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. A ve B kümelerinin eşitliği A = B ile gösterilir. A ve B eşit küme olmak üzere A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı olduğu için A ⊆ B dir. B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı olduğu içi B ⊆ A dır. Bu durumda A = B iken A ⊆ B ve B ⊆ A dır. A ve B kümelerinin birbirinden farklı en az bir elemanı varsa A ile B eşit olmayan kümelerdir denir ve bu durum A ≠ B ile gösterilir. Örnek Aşağıdaki kümelerden birbirine eşit olanları bulunuz. A = {x x, mutlak değeri 5 ten küçük tam sayılar} B = {x x, 4 ten küçük doğal sayılar} C = {x x, karesi 25 ten küçük tam sayılar} D ={x -5 < x < 5, x bir tam sayı} Çözüm Kümeler liste yöntemi ile A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} B = {0, 1, 2, 3} C = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} D = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} Yazılır. A, C ve D kümelerinin her elemanı aynı olduğu için bu üç küme birbirine eşittir. Bu durum A = C = D ile gösterilir. Eşit kümeler birbirinin alt kümesi olduğundan A, C ve D kümelerinin her biri diğerinin alt kümesidir. Kümelerde İşlemler A ve B gibi iki kümenin tüm ortak elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi adı verilir. Kesişim işlemi “⋂” sembolü ile gösterilir. A ve B kümelerinin kesişim kümesi, ortak özellik yöntemi ile A ⋂ B = {x x ∈ A ve x ∈ B } şeklinde ifade edilir. A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir. Özellik A ve B gibi herhangi iki küme için sA ⋃ B = sA + sB – sA⋂B olur A ⋂ B = ∅ ise sA ⋂ B = 0 olacağından sA ⋃ B = sA + sB ile hesaplanır. Örnek sA= , sA⋃B = 16 ve sA⋂B = 4 ise sA nı bulunuz. Çözüm sB=x olsun sA=3x olur. Bu durumda sA⋃B = sA + sB – sA⋂B 16 = 3x+x-4 20 = 4x x = 5 olur. Buradan sA = = = 15 bulunur. Kümelerde Fark İşlemi A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı adı verilir. A – B veya A \ B ile gösterilir. Örnek A = {p, r, s, ş, t} ve B = {r, ş, m, n} kümeleri için A\B ve B\A kümelerini bulup Venn şeması ile gösteriniz. Özellik A ve B eşit küme ise A\B = B\A = ∅ A ⋂ B = ∅ ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. A ve B ayrık kümeler ise A\B = A ve B\A = B Kümenin TümleyeniE evrensel kümesine ait bir A kümesi için A kümesinde bulunmayıp E kümesinde bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni adı verilir ve A’ ile gösterilir. Ortak özellik yöntemiyle A’ = {x x ∈ A ve x ∈ E } olarak ifade = AA ⋂ A’ = ∅A ⋃ A’ = EE’ = ∅ ve ∅’ = EA \ A’ = AE \ A = A’ ve A \ E = ∅sA + sA’ = sEÖzellikA \ B = A ⋂ B’B \ A = B ⋂ A’De Morgan kurallarıA⋃B’ = A’ ⋂ B’A⋂B’ = A’ ⋃ B’ÖrnekE evrensel kümesinde tanımlı A, B ve C kümeleri için sA + sB’=22, sB + sC’=12 ve sC+sA’=14 olarak veriliyor. Buna göre E evrensel kümesinin eleman sayısını + sB’=22sB + sC’=12sC+sA’=14Taraf tarafa toplarsak sE+ sE+ sE = 48 olur. Buradan sE=16 verilen eşitlikleri sembolik mantık kurallarını kullanarak ⋂ A = AA \ B = A ⋂ B’A ⋂ A’ ⋃ B = A ⋂ BÇözümA kümesi p, B kümesi q önermesi ile ⋂ A kümesi sembolik mantıkla 1 Λ p ile gösterilir. 1 Λ p = p olduğundan E ⋂ A = A \ B = {x x ∈ A Λ x ∉ B } olduğundan A \ B kümesi sembolik mantıkla p Λ q’ ile gösterilir. Buradan A \ B = A ⋂ B’ ⋂ A’⋃B kümesi sembolik mantıkla p Λ p’ V q ile Λ p’ V q ≡ p Λ p’ V p Λ q ≡ 0 V p Λ q ≡ p Λ qolduğundan A ⋂ A’ ⋃ B = A ⋂ B ⋃ [ A ⋂ B’ ⋂ A’ ⋃ B ] küme işlemini sembolik mantık kurallarını kullanarak en sade biçimde ⋃ [ A ⋂ B’ ⋂ A’ ⋃ B ]A kümesi sembolik mantıkta p önermesi ile,B kümesi sembolik mantıkla q önermesi ile,“⋃” işlemi sembolik mantıkta “V” ile,“⋂” işlemi sembolik mantıkta “Λ” ile gösterilerek mantık kuralları uygulanırsa≡ p V [ p Λ q’ Λ p’ V q]≡ p V [ p’ V q’ Λ p’ V q]≡ p V [p’ V q’ Λ q]≡ p Vp’ V 0≡ p V p’ ≡ 1 mantıkta 1 kümelerde E evrensel kümesi ile gösterildiğindenA ⋂[A ⋂ B’ ⋂ A’ ⋃ B] = E İşlemleri Yardımıyla Problem ÇözümüÖrnek42 kişilik bir turist kafilesinde yalnızca İngilizce bilenlerin sayısı yalnız Fransızca bilenlerin sayısının 2 katıdır. İngilizce ve Fransızca bilenlerin sayısı 6, İngilizce veya Fransızca bilmeyenlerin sayısı 18 ise İngilizce bilen kaç turist vardır?ÇözümYalnız Fransızca bilenlerin sayısına x diyelim, yalnız İngilizce bilenlerin sayısı 2x olur. Verilen tüm bilgiler Venn şemasıyla gösterilir. Her bölgedeki sayı ve değişkenlerin toplamı kafiledeki turist sayısını = 42 3x = 42 – 24 3x = 18 x = 6 bilen turist sayısına sİ dersek,sİ = 2x+6sİ = = 18 ve gözlüksüz öğrencilerin bulunduğu bir sınıfla ilgili aşağıdaki bilgiler kız öğrenci sayısı gözlüksüz erkek öğrenci sayısının 2 erkek öğrenci sayısı gözlüksüz erkek öğrenci sayısından 3 kız öğrenci sayısı gözlüklü kız öğrenci öğrencilerin sayısının yarısından 3 veya erkek öğrenci sayısı 21 bilgilere göre sınıf mevcudu kaçtır?ÇözümGözlüksüz erkek öğrenci sayısına x dersek gözlüklü kız öğrenci sayısı 2x, gözlüklü erkek öğrenci sayısı x-3 ve gözlüksüz kız öğrenci sayısı x+3 olur. Bu bilgiler tablo yardımı ile aşağıdaki gibi veya erkek öğrenci sayısı 21 olarak verildiğine göre,x+3+x+x-3 = 21 3x = 21 x = 7 mevcudu ise 2x+x+3+x-3+x = 5x = 35 Kümenin Kartezyen ÇarpımıSıralı İkiliHer ikisi de boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A kümesinden bir a elemanı, B kümesinden bir b elemanı alınarak elde edilen ve a,b şeklinde gösterilen ifadeye sıralı ikili adı verilir. Bu gösterimde “a” ya birinci bileşen, “b” ye ise ikinci bileşen adı ve b birbirinden farklı ise a,b ve b,a sıralı ikilileri de birbirinden farklıdır. Sıralı ikili yazılımında bileşenlerin yazılış sırası İkililerin Eşitliğia,b ve c,d sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum a,b=c,d şeklinde eşitllikte a=c ve b=d , 3y+6=-10, 18 eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını = -10 2x = -10 + 42x = -6 x = -3 = 183y = 18 – 63y = 12 y = 4 olur. Örnekx2 , y = 16 , 3 eşitliğini sağlayan x ve y sayılarının toplamının alabileceği en küçük değeri = 16 ise x = 4 veya x = -4 olur.y = 3 ise y = 3 veya y = -3 in en küçük değeri -4 ve y nin en küçük değeri -3 olacağından toplamları en küçük değeri -4-3 = -7 Çarpım KümesiBirinci bileşeni bir A kümesinden, ikinci bileşeni ise bir B kümesinden alarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve A x B ile gösterilir. A x B kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimiA x B = {a,b a ∈ A ve b ∈ B} = {a, b, c} ve B = {1,2} kümeleri veriliyor. A x B ve B x A kümelerini kümesindeki her eleman B kümesindeki her elemanla eşlenirseA x B = {a,1, a,2, b,1, b,2, c,1, c,2} kümesindeki her eleman A kümesindeki her elemanla eşlenirseB x A = {1,a, 2,a, 1,b, 2,b, 1,c, 2,c} Çarpımın ÖzellikleriA ve B birbirinden farklı iki küme ise A x B ≠ B x A olur. Kümeler yer değiştirdiğinde farklı sıralı ikililer oluşacağı için kartezyen çarpımları da birbirinden farklı kümeler x ∅ = ∅ x A = ∅ olur. Boş kümenin Kartezyen çarpımına ekleyebileceği herhangi bir elemanı olmadığı için kartezyen çarpımının sonucu da yine boş küme = {1, 3, 5, 7, 9} ve B ={a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A x B, B x A, A x A, B x B kümelerinin eleman sayısını = 5 ve sB = 4 = = 20sBxA = = 20sAxA = = 25sBxB = = 16sAxB = sBxA olduğuna dikkat ve B herhangi iki küme olmak üzere sA = a ve sB = b isesAxB = = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi veriliyor. AxA kümesinin elemanlarından kaç tanesinde ve birbirinden farklı olduğunu = 6 ve sAxA = = 36 olur.1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 elemanlarının bileşenleri aynı olup 6 tanedir. AxA kümesinin tüm elemanlarından, bileşenleri aynı olan elemanlar çıkarılırsa geriye bileşenleri aynı olmayan elemanlar kalır. Bu durumda bileşenlerin birbirinden farklı olduğu eleman sayısı 36-6 = 30 sayıları birbirinden farklı A ve B kümeleri veriliyor. sAxB = 36 ise A ⋃ B kümesinin eleman sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerini = sA.sB olarak = 36 ve sB = 1 olarak seçilip A ve B ayrık iki küme olarak düşünülürse sA ⋃ B = sA + sB = 36+1 = 37 olur. Bu durumda birleşimleri en çok 37 = 9 ve sB = 4 olarak seçilip A ⊆ B olarak düşünülürse sA ⋃ B = 9 Bu durumda birleşimleri en az 9 elemanlıdır. Soru5. a, 3'ten küçük olmayan bir tam sayı olmak üzere va sayısının ondalıklı yazılımında tam kısmın olduğunda va sayıları n kenarlı5. a, 3'ten küçük olmayan bir tam sayı olmak üzere va sayısının ondalıklı yazılımında tam kısmın olduğunda va sayıları n kenarlı düzgün çokgenin içinde yer alırlar. Örneğin, A sınırları içinde 19, 10, 11, 12, 13, 14 ve V 15 sayıları bulunmaktadır. Bu durumda sA = 7'dir. Buna göre, SO-S işleminin sonucu kaçtır? A O B 1 C 2 D 3 E 4 Soru Çözümünü GösterHesabını çözümünü gör!Ücretsiz 3 soru kredisi kazan Günlük hediyelerini alFotoğraflarla sorularını sor “A = {5’ten küçük doğal sayılar}, B = {10’dan küçük tek doğal sayılar}, A ve B kümelerinin elemanlarını yazınız. Kesişimlerini ve birleşimlerini sembol kullanarak gösteriniz.” ulaşabilmek ve dersinizi kolayca yapabilmek için aşağıdaki yayınımızı mutlaka A = {5’ten küçük doğal sayılar}, B = {10’dan küçük tek doğal sayılar}, A ve B kümelerinin elemanlarını yazınız. Kesişimlerini ve birleşimlerini sembol kullanarak “6. Sınıf Matematik Engürü Yayınları Sayfa 52 Cevapları” ile ilgili aşağıda bulunan emojileri kullanarak duygularınızı belirtebilir aynı zamanda sosyal medyada paylaşarak bizlere katkıda bulunabilirsiniz. ☺️ BU İÇERİĞE EMOJİYLE TEPKİ VER! Matematikte tek sayılar ve çift sayılar birbirinden farklı özelliklere sahiplerdir. Tek ve çift sayılar hem negatif sayılarda hem de pozitif sayılarda bulunmaktadır. Tek ve Çift Sayılar Nelerdir? Matematikte herhangi bir sayının tek sayı veya çift sayı olması durumu parite olarak adlandırılmaktadır. Çift sayılar 2 sayısına tam olarak bölünebilen sayılardır. Diğer bir ifade ile ikinin tam katı olan sayılardır. Tek sayılar ise iki ile tam bölünemeyen, ikinin katı olmayan sayılardır. Çift ve tek doğal sayılar şunlardır Çift Sayılar 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,...... Tek Sayılar 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... Çift sayılar bu şekilde sonsuza kadar gitmektedir. Ayrıca negatif çift sayılarda bulunmaktadır. Negatif çift ve tek sayılar ise şu şekildedir Negatif Çift Sayılar -2, -4, -6, -8, -10, -12, -14, -16, -18, -20,...... Negatif Tek Sayılar -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17, -19,... Ayrıca 0 sayısı çift sayı olarak kabul edilir. Fakat pozitif çift sayı veya negatif çift sayı olarak belirtilmez. Çünkü 0 sayısı negatif ve pozitif sayı değildir. Hangi Sayılara Tek Sayı Denir? Tek sayılar iki sayısına tam bölünemeyen ve 1 kalanı veren sayılardır. Genel olarak 2n-1 ifadesi ile tanımlanan sayılardır. Tüm tek sayılar ikiye bölündüğünde 1 kalanını vermektedir. Bunun dışında iki veya üç basamaklı sayıların tek mi yoksa çift mi olduğunu öğrenmek mümkündür. Bunun için üç basamaklı olan sayının birler basamağına bakılmalıdır. Birler basamağındaki sayı tek sayı ise bu üç basamaklı sayı da tek sayı olarak kabul edilebilir. Hangi Sayılara Çift Sayı Denir? Çift sayılar ise 2 ile kalansız bölünebilen sayılara denir. Diğer bir ifade ile çift sayılar ikiye bölündüğünde 0 kalanını verir. Çift sayılar genel olarak 2n şeklinde ifade edilir. Burada ''n'' sayısına hangi sayıyı verirsek 2 sayısının katı olacağı için çift sayı olur. Ayrıca iki veya ikiden fazla basamaklı sayılar için sayının çift mi tek mi olduğunu anlamak oldukça kolaydır. Sayıların birler basamağı bu konuda yardımcı olur. Birler basamağındaki sayının çift olması halinde diğer basamakların sayıları far etmeksizin bu sayı çift sayı olur.

5 ten küçük doğal sayılar